Question

4．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線x=2與橢圓交于P，Q兩點，P點位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動點．當點A，B運動時，滿足PA與PB的斜率之和為0，問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點是（0，$\sqrt{2}$），可得b=$\sqrt{2}$，由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2$\sqrt{2}$，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，分別聯(lián)立直線PA、PB與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，直接計算k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）
又拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點是（0，$\sqrt{2}$），∴b=$\sqrt{2}$-----------------------------------（2分）
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2$\sqrt{2}$----------------------------------------------------（4分）
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$----------------------------------------（5分）
（2）設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k
∴PA的直線方程為：y-1=k（x-2）------------------------------------（6分）
代入橢圓方程，消去整理得：（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+16k²-16k-4=0，
∵2、x₁是該方程的兩個實根，
∴2x₁=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$，∴x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
同理，直線PB的方程為：y=-kx+2k+1，且x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，（11分）
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$---------------------------------------------------（13分）

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓的方程，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．