Question

14．設函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，則使得f（x）＞f（3x-1）成立的x的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的表達式可知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷函數(shù)在x大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數(shù)值越大，可得|x|＞|3x-1|，解絕對值不等式即可．

解答 解：f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，定義域為R，
∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當x＞0時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$值函數(shù)單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得f（x）＞f（3x-1）成立，
∴|x|＞|3x-1|，
∴x²＞（3x-1）²，
∴x的范圍為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故答案為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．