Question

已知a，b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點．
（1）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+3x+8，求g（x）的極值點．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程組，解之即可求出a與b的值，f（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出極值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點即可．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
∴f′（x）=3x²-3，
當f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴函數(shù)f（x）在[-2，-1）和[1，2]上為增函數(shù)，在[-1，1]上為減函數(shù)，
∴f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
故最大值為2，最小值為-2．
（2）∵g′（x）=f（x）+3x+8=x³-3x+3x+8=x³+8，
令g′（x）=0，解得x=-2，
當g′（x）＞0時，即x＞-2時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0時，即x＜-2時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=-2時，函數(shù)有極小值，
故g（x）的極值點為x=2

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了計算能力和運算求解的能力，屬于中檔題．