Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]上的最大值是3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 先求對稱軸，比較對稱軸和區(qū)間的關系，利用開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大來解題．

解答 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax-a+1圖象的對稱軸為直線x=a，
當a＜0時，[0，1]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_max=f（0）=1-a=3，
∴a=-2；
當a＞1時，[0，1]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_max=f（1）=a=3，
∴a=3；
當0≤a≤1時，f（x）_max=f（a）=a²-a+1=3，
解得a=-1（舍去），或a=2（舍去），
所以a=-2或a=3．

點評 此題是個中檔題．本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．關于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結論．