Question

設a₁，a₂，…，a_n是各項不為零的n（n≥4）項等差數(shù)列，且公差d≠0．若將此數(shù)列刪去某一項后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，則n的值為：    ，由所有的值組成的集合為    ．

Answer 1

【答案】分析：設出數(shù)列的公差d，列舉出數(shù)列的各項，討論從第一項開始刪去，由得到的數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質，列出關于d與首項的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據d不為0，得到滿足題意的d的值，即可求出滿足題意的n和所有的值組成的集合．
解答：解：設數(shù)列{a_n}的公差為d，
則各項分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設去掉第一項，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，
化簡得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，
解得d=-，
因為數(shù)列的各項不為零，
所以數(shù)列不會出現(xiàn)第五項（a₁+4d=0），
所以數(shù)對 =（4，-4）；
去掉第三項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
化簡得：d²-a₁d=0，
即d（d-a₁）=0，
解得d=a₁，
則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會出現(xiàn)第五項，
因為出現(xiàn)第五項，數(shù)列不為等比數(shù)列，
所以數(shù)對 =（4，1）；
去掉第四項時，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，
化簡得：d=0，不合題意；
當去掉第五項或更遠的項時，
必然出現(xiàn)上述去掉第一項和第四項時的情況，
即d=0，不合題意．
所以滿足題意的數(shù)對有兩個，
組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：4，{-4，1}．
點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的性質化簡求值，數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．學生做題時應時刻注意公差d不為0和各項不為0的條件，要注意分類討論思想的應用．