【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的極值;

2)若,試討論關(guān)于的方程 的解的個(gè)數(shù),并說明理由.

【答案】(1)當(dāng)時(shí), 無極值;當(dāng)時(shí), 有極小值,無極大值。(2)唯一解

【解析】試題分析:1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而寫出函數(shù)的極值;2, ,問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),通過討論m的范圍,判斷即可.

試題解析:

(1)依題意得, ,

當(dāng)時(shí), ,故函數(shù)上單調(diào)遞增, 無極值;

當(dāng)時(shí),令, (舍)

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞增.

故函數(shù)有極小值.

綜上所述:當(dāng)時(shí), 無極值;

當(dāng)時(shí), 有極小值,無極大值.

(2)令 ,問題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

易得

當(dāng)時(shí), ,函數(shù)為減函數(shù),因?yàn)?/span>, ,所以有唯一零點(diǎn);

當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí), ,而當(dāng)時(shí),

所以,函數(shù)上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>, ,所以函數(shù)有唯一零點(diǎn).

綜上,若,函數(shù)有唯一零點(diǎn),即方程方程有唯一解.

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(Ⅱ)說明:請(qǐng)?jiān)冢╥)、(ii)問中選擇一問解答即可,兩問都作答的按選擇(i)計(jì)分
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