Question

（1）已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x∈R時(shí)，f（m+x）=f（m-x）恒成立，求證y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱；
（2）若函數(shù)y=log₂|ax-1|的圖象的對(duì)稱軸是x=2，求非零實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（s，t）是y=f（x）圖象上任一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于x=m的對(duì)稱點(diǎn)為P'，運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)求出P'的坐標(biāo)，說(shuō)明也在函數(shù)f（x）的圖象上即可得證；
（2）根據(jù)（1）得到log₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，然后由對(duì)數(shù)知識(shí)，去對(duì)數(shù)符號(hào)，整理，由x的任意性和a不為0，即可求出a的值．

解答： （1）證明：設(shè)P（s，t）是y=f（x）圖象上任一點(diǎn)，則t=f（s），
又P點(diǎn)關(guān)于x=m的對(duì)稱點(diǎn)為P'，則P'（2m-s，t），
由已知f（m+x）=f（m-x）得，f（2m-s）=f（m+（m-s））=f（m-（m-s））=f（s）=t，
即P'在y=f（x）的圖象上，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱；
（2）解：∵函數(shù)y=log₂|ax-1|的圖象的對(duì)稱軸是x=2，
∴l(xiāng)og₂|a（2+x）-1|=log₂|a（2-x）-1|恒成立，
即|a（2+x）-1|=|a（2-x）-1|恒成立，
即|ax+（2a-1）|=|-ax+（2a-1）|恒成立，
∵a≠0，∴2a-1=0，即a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性及運(yùn)用，注意設(shè)點(diǎn)求對(duì)稱點(diǎn)，同時(shí)考查恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化思想．