Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：mx+y+1=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

||成立？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，可得

e= c a = 1 2 a-c=1.

，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）依題意，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，平方得

OA

•

OB

=0．把y=-mx-1代入橢圓C：3x²+4y²=12中，整理得（3+4m²）x²+8mx-8=0，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c．
依題意

e= c a = 1 2 a-c=1.

解得c=1，a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）不存在實(shí)數(shù)m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，證明如下：
把y=-mx-1代入橢圓C：3x²+4y²=12中，整理得（3+4m²）x²+8mx-8=0．
由于直線l恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)（0，-1），所以判別式△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8m

4m2+3

，x1•x2=

-8

4m2+3

．
依題意，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，平方得

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-mx₁-1）•（-mx₂-1）=0，
整理得（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（m²+1）

-8

4m2+3

-

8m2

4m2+3

+1=0，
整理得m2=-

5

12

，矛盾．
所以不存在實(shí)數(shù)m，使|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．