Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面積為S=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$c，則ab的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 由正弦定理將2ccosB=2a+b，轉(zhuǎn)化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形內(nèi)角和定理，將sin A=sin（B+C），利用兩角和的正弦公式展開，化簡求得，
sinC的值，由余弦定理、三角形的面積公式及基本不等式關(guān)系，求得ab的最小值．

解答 解：由正弦定理，有$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，又2c•cosB=2a+b，得
2sinC•cosB=2sin A+sinB，
由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），
則2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，
又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=-$\frac{1}{2}$，
因為0＜C＜π，得C=$\frac{2π}{3}$，
則△ABC的面積為S_△=$\frac{1}{2}$ab sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，即c=3ab，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2ab cosC，化簡，得a²+b²+ab=9a²b²，
∵a²+b²≥2ab，當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號，
∴2ab+ab≤9a²b²，即ab≥$\frac{1}{3}$，故ab的最小值是$\frac{1}{3}$．
故答案選：B．

點評 本題考查正余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及基本不等式相結(jié)合，屬于中檔題．