【題目】如圖,三棱柱中,四邊形為菱形,,平面平面,在線段上移動(dòng),為棱的中點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),為中點(diǎn),延長(zhǎng)交于,求證:平面;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)取BB1中點(diǎn)E,連接AE,EH,推導(dǎo)出EH∥B1Q,AE∥PB1,從而平面EHA∥平面B1QP,由此能證明AD∥平面B1PQ.
(2)連接PC1,AC1,推導(dǎo)出AA1=AC=A1C1=4,△AC1A1為正三角形,推導(dǎo)出PC1⊥AA1,從而PC1⊥平面ABB1A1,建立空間直角坐標(biāo)系Pxyz,利用向量法能求出點(diǎn)P到平面BQB1的距離.
解:(1)證明:如圖,取中點(diǎn),連接
∵為中點(diǎn),∴
在平行四邊形中,分別為的中點(diǎn),∴
又,,
∴平面平面
∵平面,∴平面.
(2)連接,
∵四邊形為菱形,∴
又,∴為正三角形
∵為的中點(diǎn),∴
∵平面平面,平面平面,平面,
∴平面,
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
,
設(shè),
∴,
∴
∵,,∴,∴
設(shè)平面的法向量為,
則得,令,則,
∴平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面的法向量為,二面角的平面角為,
則
∴或(舍),∴,∴.
又,∴,∴
連接,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則
∴,即點(diǎn)到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如表資料:
日 期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差x(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(shù)y(個(gè)) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率;
(2)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(wèn)(2)中所得線性回歸方程是否理想?
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),,且圓心在直線:上.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)圓與軸相交于、兩點(diǎn),點(diǎn)為圓上不同于、的任意一點(diǎn),直線、交軸于、點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)變化時(shí),以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的有( )
(1)很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合;
(2)集合與集合是同一個(gè)集合;
(3) 這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;
(4)任何集合至少有兩個(gè)子集.
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)和都是定義在集合上的函數(shù),對(duì)于任意的,都有成立,稱函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”.
(1)函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”,求集合;
(2)若函數(shù) (且)與在集合上互為“互換函數(shù)”,求證:;
(3)函數(shù)與在集合且上互為“互換函數(shù)”,當(dāng)時(shí),,且在上是偶函數(shù),求函數(shù)在集合上的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列的定義可用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述為________,其中,其通項(xiàng)公式_________,__________=_________,等差數(shù)列中,若則________()
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某屆世界杯足球賽上,a,b,c,d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽,在第一輪的兩場(chǎng)比賽中,a對(duì)b,c對(duì)d,然后這兩場(chǎng)比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽,這兩場(chǎng)比賽的負(fù)者比賽,決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd(表示a勝b,c勝d,然后a勝c,b勝d).
(1)寫出比賽所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間;
(2)設(shè)事件A表示a隊(duì)獲得冠軍,寫出A包含的所有可能結(jié)果;
(3)設(shè)事件B表示a隊(duì)進(jìn)入冠亞軍決賽,寫出B包含的所有可能結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)有5個(gè)條件類似的女孩(把她們分別記為A,B,C,D, E)應(yīng)聘秘書工作,但只有2個(gè)秘書職位,因此5個(gè)人中只有2人能被錄用.如果5個(gè)人被錄用的機(jī)會(huì)相等,分別計(jì)算下列事件的概率;
(1)女孩A得到一個(gè)職位;
(2)女孩A和B各得到一個(gè)職位;
(3)女孩A或B得到一個(gè)職位.
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