Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為
.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè).
①若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線若能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等．若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1） ；（2）①3；②存在，.

試題分析：（1）由題意可知，又切線的斜率為，從而可列出關(guān)于的方程組，解得；（2）①由（1）得，它在區(qū)間上是增函數(shù)，說(shuō)明在上恒成立，求得，那么，可變形為，因此我們只要求出在上的最小值即可，而求最小值時(shí)可用換元法.設(shè)；②從題意可知點(diǎn)若存在，則必是圖象的對(duì)稱(chēng)中心，因此我們著重點(diǎn)在于尋找的對(duì)稱(chēng)中心，同時(shí)我們知道愛(ài)的渴，則圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)心是，由于是由一個(gè)整式與一個(gè)分式相加，可以先考慮分式，使為常數(shù)，，再代入驗(yàn)證是不是為常數(shù).
試題解析：（1）時(shí)，
，         2分
在直線上，，即 
           4分
，
（2）①
是上的增函數(shù)，
，
在上恒成立，        6分
令  則，
設(shè)， 在上恒成立        7分
恒成立，， 實(shí)數(shù)最大值為        9分
②由，


，          11分
表明：若點(diǎn)為圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)也在圖象上，
而線段的中點(diǎn)恒為；由此可知圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
這也表明存在點(diǎn)，使得過(guò)的直線若能與圖象相交圍成封閉圖形，
則這兩個(gè)封閉圖形面積相等．        13分（其它解法相應(yīng)給分）.