Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²
（Ⅰ）當a=2，b=

1

2

時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值；
（Ⅱ）當b=0時，若不式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=2，b=

1

2

時，f′(x)=

2

x

-x，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值．
（Ⅱ）當b=0時，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，則m≤alnx-x，對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，m≤h（a）_min，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2，b=

1

2

時，f（x）=2lnx-

1

2

x²，
f′(x)=

2

x

-x，
由f′（x）=0，得x=

2

，或x=-

2

（舍），
∵f（

1

e

）=-2-

1

2e2

，
f（

2

）=2ln

2

-

1

2

×2=ln2-1，
f（e）=2-

1

2

e2，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值為f（

2

）=ln2-1．
（Ⅱ）當b=0時，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
則alnx≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
即m≤alnx-x，對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，m≤h（a）_min
∵x∈（1，e²]，∴l(xiāng)nx＞0，∴h（a）在a∈[0，

3

2

]上單調遞增
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x對所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x≤e²，
∴-e²≤-x＜-1，∴m≤（-x）_min=-e²．

點評：本題考查實數(shù)取值范圍的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．