Question

已知圓O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點(diǎn)S（l不垂直于x軸），拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)且以l為準(zhǔn)線，以F為焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點(diǎn)F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，中點(diǎn)D在直線y=l上，若直線l′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且在l′上任取一點(diǎn)P（不同于D點(diǎn)），都存在實(shí)數(shù)λ，使得

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

)，證明：直線l′必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，由此能求出曲線C的方程．
（2）由

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，再由韋達(dá)定理能證明：直線l′必過(guò)定點(diǎn)，并能求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，
根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，
∴2a=4，c=1，
曲線C：

x2

4

+

y2

3

=1，(y≠0)．
（2）∵

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，
整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，

1

2

(y1+y2)=

-4km

4k2+3

+m=1，
4k²+3=3m，
則l′：y-1=-

1

k

(x+

4km

4k2+3

)，
∴y=-

1

k

x-

1

3

，恒過(guò)（0，-

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，證明直線l′必過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．