Question

已知圓N以N（2，0）為圓心，同時(shí)與直線l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（1）求圓N的方程；
（2）是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：
   ①直線l分別與直線l₁和l₂交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E（4，1）；
   ②直線l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2．若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓N與直線l₁：y=x相切，求出圓的半徑，即可求圓N的方程；
（2）假設(shè)存在直線l滿足兩個(gè)條件，顯然l斜率存在，設(shè)l的方程為y-1=k（x-4）（k≠±1），利用l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，可求k=0或

4

3

，分類(lèi)討論，求出A，B的坐標(biāo)，驗(yàn)證AB中點(diǎn)是否為E（4，1），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵圓N與直線l₁：y=x相切，∴半徑r=

2

2

=

2

．       …（2分）
∴圓N的方程為（x-2）²+y²=2．                   …（4分）
（2）假設(shè)存在直線l滿足兩個(gè)條件，顯然l斜率存在，
設(shè)l的方程為y-1=k（x-4）（k≠±1），…（5分）
∵l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，
∴圓心到直線的距離等于1，即d=

|2k-1|

1+k2

=1，
解得k=0或

4

3

，…（8分）
當(dāng)k=0時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為E（4，1）的條件，矛盾！…（9分）
當(dāng)k=

4

3

時(shí)，l的方程為4x-3y-13=0，
由

4x-3y-13=0 y=x

，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為（13，13），
由

4x-3y-13=0 y=-x

，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為（

13

7

，-

13

7

），…（11分）
顯然AB中點(diǎn)不是E（4，1），矛盾！
∴不存在滿足條件的直線l．                …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查圓的方程，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出A，B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．