Question

已知m≥2，點(diǎn)P（x，y）滿足

y≥x y≤mx x+y≤1

，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-1），記f（m）為

OP

•

OQ

的最小值，則f（m）的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積的公式求出f（m），利用數(shù)形結(jié)合得到f（m）的表達(dá)式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)z=f（m）=

OP

•

OQ

=（x，y）•（0，-1）=-y，即y=-z，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-z，由圖象可知當(dāng)直線y=-z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值，
由

y=mx x+y=1

，解得x=

1

1+m

，y=

m

1+m

，即B（

1

1+m

，

m

1+m

，）
即z=-y=-

m

1+m

=-（

m+1-1

1+m

）=-1+

1

1+m

，在m≥2上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)m=2時(shí)，z取得最大值f（2）=-1+

1

3

=-

2

3

，
故答案為：-

2

3

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握分式函數(shù)最值的應(yīng)用．