Question

7．已知函數(shù)f（x）的值域是$[\frac{3}{8}，\frac{4}{9}]$，則函數(shù)y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域?yàn)閇$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．

Answer 1

分析 為去原函數(shù)的根號(hào)，可想著設(shè)$\sqrt{1-2f（x）}=t$，從而解出f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，并由f（x）的值域能得到t∈$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$．將解出的f（x）帶入原函數(shù)便可得到y(tǒng)=$-\frac{1}{2}（x-1）^{2}+1$，容易判斷該函數(shù)在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，這樣便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]；
∴$f（x）=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
該函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1；
∴該函數(shù)在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
∴t=$\frac{1}{3}$時(shí)，該函數(shù)取最小值$\frac{7}{9}$，t=$\frac{1}{2}$時(shí)，該函數(shù)取最大值$\frac{7}{8}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．
故答案為：$[\frac{7}{9}，\frac{7}{8}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，換元求函數(shù)值域的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．