Question

設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合S={a+

b

3

|a，b為整數(shù)}為封閉集；②若S為封閉集，則{0}⊆S；③封閉集一定是無(wú)限集；④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M也是封閉集．其中的真命題是

④

．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①根據(jù)封閉集的定義驗(yàn)證集合S={a+

b

3

|a，b為整數(shù)}不是封閉集；
②通過(guò)舉出反例，若S為封閉集，不一定{0}⊆S；
③封閉集不一定是無(wú)限集；
④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封閉集．

解答：解：∵若對(duì)任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，則稱S為封閉集，
對(duì)于①設(shè)x=a+

b

3

，y=c+

d

3

，a，b，c，d為整數(shù)，xy=ac+

ad

3

+

bc

3

+

bd

9

，若bd=1，則xy∉S，
故S={a+

b

3

|a，b為整數(shù)}不是封閉集；故錯(cuò)；
②若S=N^*，則S為封閉集，但{0}?S；故錯(cuò)；
③封閉集不一定是無(wú)限集如S={0}是封閉集，是有限集，故錯(cuò)；
④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封閉集．
綜上可知④正確，
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題考查康托的集合論，本題解題的關(guān)鍵是正確理解封閉集的意義，能夠辨別一個(gè)集合是不是封閉集．