Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x2+ax+1

（1）若a∈（-2，2），求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）值域；
（3）若a＞-2，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由a∈（-2，2）得△=a²-4＜0，對任意x∈R，f（x）＞0，令u=x²+ax+1，易知u在(-∞，-

a

2

)上遞減，在(-

a

2

，+∞)上遞增，于是f（x）的遞增區(qū)間是(-∞，-

a

2

)，遞減區(qū)間是(-

a

2

，+∞)．
（2）討論（ⅰ）當(dāng)a∈（-2，2）時（ⅱ）當(dāng)a=±2時（ⅲ）當(dāng)a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時綜合得出結(jié)論．
（3）討論（�。┊�(dāng)a∈[0，+∞）時，（ⅱ）當(dāng)a∈[-1，0）時（ⅲ）當(dāng)a∈（-2，-1）時從而綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a∈（-2，2），
∴△=a²-4＜0，對任意x∈R，f（x）＞0，令u=x²+ax+1，
易知u在(-∞，-

a

2

)上遞減，在(-

a

2

，+∞)上遞增，
于是f（x）的遞增區(qū)間是(-∞，-

a

2

)，遞減區(qū)間是(-

a

2

，+∞)．
（2）（�。┊�(dāng)a∈（-2，2）時，umin=u(-

a

2

)=

4-a2

4

，
結(jié)合（1）得f（x）的值域是(0，

4

4-a2

)，
（ⅱ）當(dāng)a=±2時，f(x)=

1

(x-1)2

或f(x)=

1

(x+1)2

，f（x）值域均為（0，+∞），
（ⅲ）當(dāng)a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，△=a²-4＞0，方程x²+ax+1=0有兩實根x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
與（1）同理，f（x）在（-∞，x₁）上遞增，在(x1，-

a

2

)上遞增，在(-

a

2

，x2)上遞減，在（x₂，+∞）上遞減，
且x∈（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）時，f（x）＞0，
當(dāng)x→x₁（x＜x₁）時f（x）→+∞，所以f（x）∈（0，+∞），
同理，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f(x)∈(-∞，

4

4-a2

)，
綜上，當(dāng)a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，f（x）值域為(-∞，

4

4-a2

)∪(0，+∞)．
（3）（ⅰ）當(dāng)a∈[0，+∞）時，
∵-

a

2

＜0，且u（0）=1＞0，于是x²+ax+1≥1，且f（x）在[0，1]上遞減，
因此，f_max（x）=1，fmin(x)=

1

a+2

，
（ⅱ）當(dāng)a∈[-1，0）時，-

a

2

∈(0，

1

2

]，
此時，f（x）在[0，-

a

2

)上遞增，在[-

a

2

，1]上遞減，
且f(0)=1≥

1

a+2

=f(1)，
所以fmax(x)=

4

4-a2

，fmin(x)=

1

a+2

，
（ⅲ）當(dāng)a∈（-2，-1）時，單調(diào)性同上，不過此時f(0)=1＜

1

a+2

=f(1)，
所以fmax(x)=

4

4-a2

，f_min（x）=1．
綜上所述，
當(dāng)a∈[0，+∞）時，f_max（x）=1，fmin(x)=

1

a+2

，
當(dāng)a∈[-1，0）時，-

a

2

∈(0，

1

2

]，fmax(x)=

4

4-a2

，fmin(x)=

1

a+2

，
當(dāng)a∈（-2，-1）時，fmax(x)=

4

4-a2

，f_min（x）=1．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．