Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（a+1）x+alnx，\;a∈R$．
（1）若a=-2，求曲線y=f（x）的與直線y=2x+1平行的切線方程；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=2計算切點橫坐標，從而得出切點坐標，代入點斜式方程化簡即可；
（2）對a進行討論，判斷f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性計算最小值．

解答 解：（1）a=-2時，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+x-2lnx$，
令f′（x）=x+1-$\frac{2}{x}$=2，解得x=2，或x=-1（舍）．
∵f（2）=4-2ln2，
∴切線方程為y-4+2ln2=2（x-2），即y=2x-2ln2．
（2）f′（x）=x-a-1+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
令f′（x）=0得x=1或x=a，
若0＜a≤1，則當x∈[1，2]時，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=-$\frac{1}{2}$-a．
若a≥2，則當x∈[1，2]時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（2）=4-2a+aln2．
若1＜a＜2，則當1≤x＜a時，f′（x）≤0，當a≤x≤2時，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（a）=-$\frac{1}{2}$a²-a+alna．
綜上：當0＜a≤1時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$-a；
當1＜a＜2時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$a²-a+alna；
當a≥2時，f（x）的最小值為4-2a+aln2．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．