Question

17．已知曲線C：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx在點(diǎn)P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）處的切線斜率為$\sqrt{3}$，則曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

Answer 1

分析 求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩角和的余弦公式，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=cosx-$\sqrt{3}$sinx，
可得在點(diǎn)P（x₀，y₀）（-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0）處的切線斜率為cosx₀-$\sqrt{3}$sinx₀
=2cos（x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{3}$＜x₀＜0，
解得x₀=-$\frac{π}{6}$，
則P（-$\frac{π}{6}$，-2），
即有曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為 y+2=$\sqrt{3}$（x+$\frac{π}{6}$），
即為$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．
故答案為：$\sqrt{3}$x-y-2+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查三角函數(shù)的求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．