Question

15．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b+c=8，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差公式、正弦定理可得$cosA=\frac{1}{2}$，可得$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．利用基本不等式的性質(zhì)可得：b+c=8≥2$\sqrt{bc}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$即可得出．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，∴$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinBcosA}$=$\frac{sinC}{sinBcosA}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，化為$cosA=\frac{1}{2}$，∴$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵b+c=8≥2$\sqrt{bc}$，化為bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時取等號．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$≤4$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理、兩角和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．