1．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=$\frac{4}{3}$a．
（1）求$\frac{a}$；
（2）若c2=a2+$\frac{1}{4}$b2，求角C．

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到sinB=2sinA，
再利用正弦定理化簡(jiǎn)，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理可求cosC的值，結(jié)合C的范圍即可得解．

解答 解：（1）△ABC中，asinAsinB+bcos2A=$\frac{4}{3}$a，
由正弦定理化簡(jiǎn)得：sin2AsinB+sinBcos2A=$\frac{4}{3}$sinA，
即sinB（sin2A+cos2A）=$\frac{4}{3}$sinA，
∴sinB=$\frac{4}{3}$sinA，
再由正弦定理得：b=$\frac{4}{3}$a，
則$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）可得b=$\frac{4}{3}$a，
c2=a2+$\frac{1}{4}$b2=a2+$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{9}$a2=$\frac{13}{9}$a2，
由余弦定理可得：
cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{\frac{16}{9}a}^{2}-{\frac{13}{9}a}^{2}}{2×a×\frac{4}{3}a}$=$\frac{1}{2}$，
由C為三角形內(nèi)角，可得∠C=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，是綜合性題目．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．將函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再沿x軸向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則y=g（x）的一條對(duì)稱軸是（　�。�
A．$x=-\frac{π}{6}$B．$x=-\frac{π}{4}$C．$x=\frac{π}{3}$D．$x=\frac{π}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$，
（1）若$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$，求證：點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{EF}$的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．一個(gè)生物研究性學(xué)習(xí)小組，為了研究平均氣溫與一天內(nèi)某豆類胚芽生長(zhǎng)之間的關(guān)系，他們分別記錄了4月6日至4月11日的平均氣溫x（℃）與該豆類胚芽一天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度y（mm），得到如下數(shù)據(jù)：
日期4月6日4月7日4月8日4月9日4月10日4月11日
平均氣溫x（℃）1011131286
一天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度y（mm）222529261612
該小組的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取6日和11日的兩組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，用剩下的4組數(shù)據(jù)即：7日至10日的四組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程．
（1）請(qǐng)按研究方案求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）用6日和11日的兩組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，并判斷該小組所得線性回歸方程是否理想．（若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1mm，則認(rèn)為該方程是理想的）
參考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，則二面角A-PB-E的大小為（　�。�
A．$\frac{2π}{3}$B．$\frac{π}{6}$C．$\frac{π}{3}$D．$\frac{5π}{6}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

6．設(shè)a=${∫}_{0}^{{e}^{2}-1}$$\frac{1}{x+1}$dx，則二項(xiàng)式（x2-$\frac{a}{x}$）9的展開式中常數(shù)項(xiàng)為5376．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

13．九江氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，5月1日潯陽(yáng)區(qū)下雨的概率為$\frac{4}{15}$，刮風(fēng)的概率為$\frac{2}{15}$，既刮風(fēng)又下雨的概率為$\frac{1}{10}$，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，那么P（A|B）=（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{2}{5}$D．$\frac{3}{8}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mx2+1，g（x）=2lnx-（2m+1）x-1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函數(shù)h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．已知函數(shù)f（x）=x2+tx+t，?x∈R，f（x）＞0，函數(shù)g（x）=3x2-2（t+1）x+t，則“?a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”為真命題的概率是（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{4}$D．$\frac{1}{5}$

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