Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸方程，并求在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由于0＜C＜π，可得：$-\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$$＜\frac{11π}{6}$，可得C．因?yàn)閟inB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx-cosx）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∵$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，4分
∴對(duì)稱軸方程為：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，（5分）      
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，
f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取最大值 1    （7分）
又  $f（-\frac{π}{12}）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$f（\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．  （8分）
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$$＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，（10分）
因?yàn)閟inB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，（11分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即c²=a²+b²-ab=3  （12分）
解得：a=1，b=2．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．