Question

20．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$，
（1）證明：{b_n}是等比數(shù)列，并求b_n
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （1）可求得b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{2（{a}_{n}+2）}{-（{a}_{n}-1）}$=-2b_n，從而證明并求通項公式；
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$=（-2）ⁿ⁺¹可得$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ⁺¹-1]，從而求S_n即可．

解答 解：（1）證明：b₁=$\frac{{a}_{1}+2}{{a}_{1}-1}$=4，
b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-1}$
=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}$
=$\frac{2（{a}_{n}+2）}{-（{a}_{n}-1）}$=-2b_n，
故{b_n}是以4為首項，-2為公比的等比數(shù)列，
故b_n=4•（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$=（-2）ⁿ⁺¹，
∴1+$\frac{3}{{a}_{n}-1}$=（-2）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ⁺¹-1]，
∴S_n=$\frac{1}{3}$[（-2）²-1]+$\frac{1}{3}$[（-2）³-1]+$\frac{1}{3}$[（-2）⁴-1]+…+$\frac{1}{3}$[（-2）ⁿ⁺¹-1]，
=$\frac{1}{3}$[（（-2）²+（-2）³+（-2）⁴+…+（-2）ⁿ⁺¹）-n]
=$\frac{4[1-（-2）^{n}]}{9}$-$\frac{n}{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及學(xué)生的化簡運算能力．