Question

設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；等差數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2) 若對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù).

Answer 1

 （1）由題意，則，解得或

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/08/08/02/2015080802535234220148.files/image090.gif'>為正整數(shù)，所以， 又，所以

（2）．

記當(dāng)時(shí)，得單調(diào)減，

又，所以

（3）由題意知，

則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，，所以成立；

當(dāng)時(shí)，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則

又，所以，

即，所以

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/08/08/02/2015080802535234220148.files/image409.gif'>為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解。

即當(dāng)時(shí)，             

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有.