有一塊邊長為4米的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割，焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計），有人用數(shù)學(xué)知識作了如下設(shè)計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成長方體。
（Ⅰ）求這種切割、焊接而成的長方體的最大容積.
（Ⅱ）請問：能重新設(shè)計，使所得長方體的容器的容積嗎？若能、給出你的一種設(shè)計方案。

（Ⅰ）(m3)；（Ⅱ）能（參考解析）

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得假設(shè)每個小正方形的邊長為x.則通過折疊可得一個無蓋的正方體.所以可以求出正方體的體積的表達.通過求導(dǎo)可求得體積的最大值.
（Ⅱ）本小題的設(shè)計較困難.通過對比和體積公式的應(yīng)用可以假設(shè)出較多的方案.本小題的設(shè)計方案具有一定的技巧性.
試題解析：（1）設(shè)切去的小正方形邊長為x.則.所以.所以當(dāng)時. .當(dāng)時. .所以當(dāng)時. (m3).
(2)能.如圖所示.先在在正方形一邊的兩個角出各切下一個邊長為1米的小正方形.再將這兩個小正方形焊接在另一邊的中間.然后焊接成長方形容器.此時. .

考點：1.正方體的體積的求法.2.導(dǎo)數(shù)求最值.3.創(chuàng)新思維的構(gòu)造.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？

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設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)在上的值域；
（2）證明對于每一個，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．

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解不等式：

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已知不等式的解集是．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式 (c為常數(shù)) ．

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已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求函數(shù)的零點；
（3）若函數(shù)的最小值為-4，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元．公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，，
(1)求的最大值；
(2)求的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)．
(I）解不等式；
(II）求函數(shù)的最小值．

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