Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足關(guān)系式：b_n=

a1+a2+a3+…an

n

（1）若b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{b_n}是以b₁為首相，以d為公差的等差數(shù)列，求證{a_n}也是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和利用a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）依第一問求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用a_n+1-a_n為常數(shù)來證明．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
依題意可知S_n=n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)a₁=1，也符合，
∴a_n=2n-1，
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
依題意可知S_n=nb_n=nb₁+n（n-1）•d，
∴a_n=S_n-S_n-1=b₁+2（n-1）•d，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)a₁=b₁，也符合，
∴a_n=b₁+2（n-1）•d，
∴a_n+1-a_n=b₁+2n•d-b₁-2（n-1）•d=2d，d為常數(shù)，
∴{a_n}也是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式．解題過程重點(diǎn)利用了等差數(shù)列的定義來解決問題．