【題目】如圖,一個湖的邊界是圓心為的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路,湖上有橋(是圓的直徑).規(guī)劃在公路上選兩個點,,并修建兩段直線型道路,,規(guī)劃要求:線段,上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點,到直線的距離分別為和(,為垂足),測得,,(單位:百米).
(1)若道路與橋垂直,求道路的長;
(2)在規(guī)劃要求下,和中能否有一個點選在處?并說明理由;
(3)在規(guī)劃要求下,若道路和的長度均為(單位:百米),求當最小時,、兩點間的距離.
【答案】(1);(2),中不能有點選在點,理由詳見解析;(3).
【解析】
(1) 設(shè)BD與圓O交于M,連接AM,以C為坐標原點,l為x軸,建立直角坐標系,利用兩直線垂直的條件得直線BP的方程,求解點P的坐標,再由兩點間距離公式即可求解PB的長;
(2)當QA⊥AB時,QA上的所有點到原點O的距離不小于圓的半徑,設(shè)此時Q(x2,0),運用兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,求得Q的坐標,即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)P(a,0),Q(b,0),則,,結(jié)合條件分析,可得b的最小值,由兩點的距離公式,計算可得PQ.
設(shè)與圓交于,連接,
為圓的直徑,可得,
即有,,,
以為坐標原點,為軸,建立直角坐標系,則,,.
(1)設(shè)點,,
則,
即,
解得,所以,;
(2)當時,上的所有點到原點的距離不小于圓的半徑,設(shè)此時,
則,即,解得,,
由,在此范圍內(nèi),不能滿足,上所有點到的距離不小于圓的半徑,
所以,中不能有點選在點;
(3)設(shè),,由(1)(2)可得,,
由兩點的距離公式可得,
當且僅當時,取得最小值15,
又,則,當最小時,,,.
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【題目】已知f(x)=|2x﹣1|﹣|2x+1|.
(1)求不等式f(x)>1的解集.
(2)當時,求證:4x2+4x+2>(2x+1)f(x).
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【題目】有兩種理財產(chǎn)品和,投資這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下(每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立):
產(chǎn)品:
投資結(jié)果 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 |
概率 |
產(chǎn)品:
投資結(jié)果 | 獲利 | 不賠不賺 | 虧損 |
概率 |
注:,
(1)若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資,一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若丙要將20萬元人民幣投資其中一種產(chǎn)品,以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù),則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.
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【題目】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱長均為2,∠AA1D1=∠AA1B1=60°,∠D1A1B1=90°.
(1)求證:A1C⊥B1D1;
(2)求對角線AC1的長;
(3)求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,,,,為梯形外一點,且平面.
(1)求證:平面;
(2)當二面角的平面角的余弦值為時,求這個四棱錐的體積.
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【題目】《中國詩詞大會》是央視首檔全民參與的詩詞節(jié)目,節(jié)目以“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨.每一期的比賽包含以下環(huán)節(jié):“個人追逐賽”、“攻擂資格爭奪賽”和“擂主爭霸賽”,其中“擂主爭霸賽”由“攻擂資格爭奪賽”獲勝者與上一場擂主進行比拼.“擂主爭霸賽”共有九道搶答題,搶到并答對者得一分,答錯則對方得一分,率先獲得五分者即為該場擂主.在《中國詩詞大會》的某一期節(jié)目中,若進行“擂主爭霸賽”的甲乙兩位選手每道搶答題得到一分的概率都是為0.5,則搶答完七道題后甲成為擂主的概率為________.
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【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,若對任意的恒成立,求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)為整數(shù),且對于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點O為極,z軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點.若直線與曲線C相交于A,B兩點,求的值.
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