Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，a＜-$\frac{e}{2}$時(shí)，a=-$\frac{e}{2}$時(shí)，-$\frac{e}{2}$＜a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，
可得f′（x）=（x-1）e^x+2a（x-1）=（x-1）（e^x+2a），
①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（-∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，若a=-$\frac{e}{2}$，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；
若a＜-$\frac{e}{2}$時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（-2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（-2a）．
即有f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）遞增；
在（1，ln（-2a））遞減；
若-$\frac{e}{2}$＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（-2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（-2a）＜x＜1．
即有f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）遞增；
在（ln（-2a），1）遞減；
（Ⅱ）
①由（Ⅰ）可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，
 且f（1）=-e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→-∞，f（x）→+∞．f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x-2）e^x，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=2；
③當(dāng)a＜0時(shí)，
若a＜-$\frac{e}{2}$時(shí)，f（x）在（1，ln（-2a））遞減，在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）遞增，
又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≥-$\frac{e}{2}$時(shí)，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．