Question

5．已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），則平面ABC的一個(gè)單位法向量是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)平面ABC的一個(gè)單位法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}$=0，$|\overrightarrow{n}|$=1．解出即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1）．
設(shè)平面ABC的一個(gè)單位法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}$=0，$|\overrightarrow{n}|$=1．
∴-x+y=-x+z=0，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=1．
解得x=y=z=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{n}$=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$（1，1，1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的法向量及其應(yīng)用、方程組的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．