Question

【題目】輪船在海上航行時，需要借助無線電導(dǎo)航確認(rèn)自己所在的位置，以把握航向．現(xiàn)有、、三個無線電發(fā)射臺，其中在陸地上，在海上，在某國海岸線上，（該國這段海岸線可以近似地看作直線的一部分），如下圖．已知、兩點(diǎn)距離10千米，是的中點(diǎn)，海岸線與直線的夾角為．為保證安全，輪船的航路始終要滿足：接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒．（注：無線電信號每秒傳播千米）．在某時刻，測得輪船距離點(diǎn)距離為4千米．

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求出該時刻輪船的位置；

（2）根據(jù)經(jīng)驗，船只在距離海岸線1.5千米以內(nèi)的海域航行時，有擱淺的風(fēng)險．如果輪船保持目前的航路不變，那么是否有擱淺風(fēng)險?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，根據(jù)對應(yīng)的量，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，找出對應(yīng)的關(guān)系，從而求得結(jié)果，得到結(jié)論.

（1）設(shè)輪船在點(diǎn)處，則由題意，得，

∴為以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點(diǎn)，

其方程為，又，解得；

（2）海岸線所在直線的方程為，與其平行，

且距離為1.5的直線的方程為，

考慮與是否有交點(diǎn)，

，

∴與沒有交點(diǎn)，

即輪船保持目前的航路不變，沒有擱淺風(fēng)險．