Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) （3）見解析

【解析】

試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）分兩種情況討論，當(dāng)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)，只需令即可；（3）由，原不等式轉(zhuǎn)化為證明，∵，∴，所以的兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，只需證明只需證 即可得結(jié)論.

試題解析：（（1），∴，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，考慮時(shí)，令 ，

①時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

②時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）方法一：（參變分離）

，

當(dāng)時(shí)，，

∴ .

當(dāng)時(shí)， ，

設(shè)，∴ ，

∴在單調(diào)遞減，

∴，∴，

綜上所述：.

方法二：（最值法）

若，只需，，

由（1）可得：

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴即可，解得：，

∴.

②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，

∴，

③時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，

即，令，

設(shè)，則，

∴在單調(diào)遞減，

而，所以原不等式無解.

（此處也不構(gòu)造函數(shù)，，顯然時(shí)，此式小于零，即可證明）

綜上所述：.

（3）注意到，所以所證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，

∵，∴，

所以的兩個(gè)零點(diǎn).

方法一：

由可得：，

∴，∴，

令，則，

令，，則當(dāng)時(shí)，

，

∴在單調(diào)遞減，∴，即，

∴在單調(diào)遞減，，即，

∵時(shí)，在均單調(diào)遞減，

∴.

方法二：同方法一可知，下面考慮證明，

∴，

下證：，∵，

所以只需證，由，

所以只需證 ，

令，，

∴，，，

∴在單調(diào)遞減，

∴，

∴在單調(diào)遞減，∴，

∴ ，

所以得證，

∵時(shí)，在均單調(diào)遞減，

∴.