Question

18．在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么該雙曲線的離心率為3．

Answer 1

分析 先確定C在雙曲線的右支上，由雙曲線定義知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c-2a）=c-a，利用cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，即$\frac{c-a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：不妨設(shè)A、B為左、右焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c，
若點(diǎn)C在雙曲線的左支上，設(shè)BC中點(diǎn)為D，
由定義知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c+2a）=c+a，
在Rt△ABD中，由cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
故$\frac{c+a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，不可能；
故C在雙曲線的右支上，
設(shè)BC中點(diǎn)為D，由雙曲線定義知|BD|=$\frac{1}{2}$（2c-2a）=c-a，
在Rt△ABD中，cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，即$\frac{c-a}{2c}$=$\frac{1}{3}$，
可得c=3a，即有e=$\frac{c}{a}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，注意運(yùn)用雙曲線的定義和等腰三角形的性質(zhì)，確定C在雙曲線的右支上是關(guān)鍵．