Question

3．已知拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且過(guò)焦點(diǎn)的直線y=x-2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的方程，直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段AB的長(zhǎng)度．利用點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，即可求解面積．

解答 解：∵拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴p=4，
∴拋物線方程為y²=8x
直線y=x-2代入到拋物線方程中，得：（x-2）²=8x
整理得：x²-12x+4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=12，x₁•x₂=4，
所以弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{144-16}$=16．
O到直線的距離為：d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
△AOB的面積為：$\frac{1}{2}×16×\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于難題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對(duì)運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．