Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁、S₂、S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出（2a₁+2）²=a₁（4a₁+12），a₁=1，運(yùn)用通項(xiàng)公式求解即可．
（2）由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．對n分類討論“裂項(xiàng)求和”即可得出

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁、S₂、S₄成等比數(shù)列．
∴S_n=na₁+n（n-1）
（2a₁+2）²=a₁（4a₁+12），a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（2）∵由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）^n-1$•\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…-（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n}{2n+1}，n為偶數(shù)}\\{\frac{2n+2}{2n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的定義，性質(zhì)，公式，運(yùn)用方程組的方法求解即可，屬于容易題．