Question

8．設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，
（1）若S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），用b，c表示sin（A+$\frac{π}{6}$），并求∠A的大�。�
（2）當(dāng)∠A取（1）中的值且△ABC為銳角三角形時，求cos²B-sin²C的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把 S=$\frac{1}{2}$bc•sinA、余弦定理代入S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），利用基本不等式求得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，可得A的值．
（2）由條件求得-$\frac{π}{3}$＜B-C＜$\frac{π}{3}$，利用三角恒等變換化簡cos²B-sin²C 為$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，求得 $\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$ 的范圍，從而求得cos²B-sin²C的取值范圍．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$bc•sinA，a²=b²+c²-2bc•cosA，代入S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），
可得 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（4b²-6bc•cosA+9c²），化簡可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{4a}^{2}{+9c}^{2}}{12bc}$≥$\frac{12bc}{12bc}$=1，
故有sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$．
（2）當(dāng)∠A=$\frac{π}{3}$，且△ABC為銳角三角形時，則有-$\frac{π}{3}$＜B-C＜$\frac{π}{3}$，求cos²B-sin²C=$\frac{1+cos2B}{2}$-$\frac{1-cos2C}{2}$
=$\frac{cos2B+cos2C}{2}$=cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，即cos²B-sin²C的取值范圍為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查余弦定理、基本不等式、三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．