Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝－ax²，a∈R.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)若函數(shù)f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）0，x＝，x＝，x＝（2）見解析（3）(1，＋∞)

(1)解：當(dāng)x≥0時(shí)，由f(x)＝0，得－2x²＝0，即x(2x²＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝ (舍負(fù))；
當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)＝0，得－2x²＝0，
即x(2x²＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝.
綜上所述，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0，x＝，x＝，x＝.
(2)證明：當(dāng)a>0且x>0時(shí)，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax－1＝0.
記g(x)＝ax²＋2ax－1，則函數(shù)g(x)的圖象是開口向上的拋物線．
又g(0)＝－1<0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
(3)解：易知0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．
對(duì)于x>0，由(2)知，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)＝ax²＋2ax－1<0恒成立，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)無零點(diǎn)．
于是，要使函數(shù)f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)就要有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①
因?yàn)閍＝0不符合題意，所以①式可化為x²＋2x＋＝0(x≠－2)，即x²＋2x＝－＝0.
作出函數(shù)h(x)＝x²＋2x(x<0)的圖象便知－1<－<0，得a>1，
綜上所述，a的取值范圍是(1，＋∞)．