Question

13．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（a＞2$\sqrt{2}$）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{8e}{|FA|}$，其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AN|•|BM|為定值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{8e}{|FA|}$，可知$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{8c}{{a（{a-c}）}}$，整理得：a²-c²=b²=8c²，即可求得a和c的值，求得橢圓方程；
（2）由（1）可知，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)x₀=0時(shí)，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，求得|AN|和BM|，即可求得$|{AN}|•|{BM}|=12\sqrt{2}$，當(dāng)x₀≠0時(shí)，求得直線PA和PB的直線方程，求得點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，求得|AN|和BM|，即可求得|AN|•|BM|為定值．

解答 解：（1）解：設(shè)F（c，0），由$\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{8e}{|FA|}$，得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{8c}{{a（{a-c}）}}$，…．（2分）
故a²-c²=b²=8c²，
∴c²=1，a²=9
故橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$…（4分）
（2）證明：由（1）知：$A（{3，0}），B（{0，2\sqrt{2}}）$，設(shè)P（x₀，y₀），則$8{x_0}^2+9{y_0}^2=72$…（5分）
當(dāng)x₀=0時(shí)，${y_0}=-2\sqrt{2}，M（{0，-2\sqrt{2}}），N（{0，0}），|{AN}|=3，|{BM}|=4\sqrt{2}$，
故：$|{AN}|•|{BM}|=12\sqrt{2}$…..（7分）
當(dāng)x₀≠0時(shí)，直線PA的方程為：$y=\frac{y_0}{{{x_0}-3}}（{x-3}）$，令x=0，得：${y_M}=-\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}-3}}$，
故：$|{BM}|=|{2\sqrt{2}-{y_M}}|=|{2\sqrt{2}+\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}-3}}}|$，
直線PB的方程為：$y=\frac{{{y_0}-2\sqrt{2}}}{x_0}x+2\sqrt{2}$，令y=0，得：${x_N}=-\frac{{2\sqrt{2}{x_0}}}{{{y_0}-2\sqrt{2}}}$，
故：$|{AN}|=|{3-{x_N}}|=|{3+\frac{{2\sqrt{2}{x_0}}}{{{y_0}-2\sqrt{2}}}}|$．…．（9分）
所以$|{AN}|•|{BM}|=|{\frac{{{{（{2\sqrt{2}{x_0}+3{y_0}-6\sqrt{2}}）}^2}}}{{（{{x_0}-3}）（{{y_0}-2\sqrt{2}}）}}}|=|{\frac{{8{x_0}^2+9{y_0}^2+12\sqrt{2}{x_0}{y_0}-48{x_0}-36\sqrt{2}{y_0}+72}}{{{x_0}{y_0}-2\sqrt{2}{x_0}-3{y_0}+6\sqrt{2}}}}|$
=$|{\frac{{12\sqrt{2}{x_0}{y_0}-48{x_0}-36\sqrt{2}{y_0}+144}}{{{x_0}{y_0}-2\sqrt{2}{x_0}-3{y_0}+6\sqrt{2}}}}|=12\sqrt{2}$…．（11分）
綜上可知：$|{AN}|•|{BM}|=12\sqrt{2}$，即|AN|•|BM|為定值…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．