Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

-lnx，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=-x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a的值代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的極值點(diǎn)并求得極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

-lnx，
∴f′(x)=-

a

x2

-

1

x

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=-x，
∴f′（1）=-a-1=1，
∴a=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-

2

x

-lnx，則f′(x)=

2

x2

-

1

x

=

2-x

x2

，
令f′（x）=0，解得x=2，
又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）內(nèi)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（2，∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（2，∞）內(nèi)為減函數(shù)．
由此知函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值，為f（2）=-1-ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．