Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥0時(shí)，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．
（Ⅲ）試比較$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}$與$\frac{{2{n^3}+n}}{3}$（n∈N^*）的大小關(guān)系，并給出證明：（${1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{n^2}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$）

Answer 1

分析 （I）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（II）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），再求導(dǎo)數(shù)f''（x），討論k的范圍，①當(dāng)2k≤4即k≤2時(shí)，②當(dāng)2k＞4即k＞2時(shí)，求出導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定單調(diào)性，即可得到所求范圍；
（Ⅲ）由（II）知，e^2x≥1+2x+2x²，令x=1，2，…，n-1，可得n-1個(gè)不等式，累加，運(yùn)用不等式的性質(zhì)和求和公式，即可得到所求大小關(guān)系．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=e^2x-1-2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（e^2x-1），
∵x＞0時(shí)f′（x）＞0，x＜0時(shí)f′（x）＜0，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；
（II）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e^2x-2-2kx，f''（x）=4e^2x-2k，
①當(dāng)2k≤4即k≤2時(shí)，f''（x）＞0⇒f′（x）單調(diào)遞增⇒f′（x）≥0⇒f（x）單調(diào)遞增
⇒f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立；
②當(dāng)2k＞4即k＞2時(shí)，?x₀＞0使x∈[0，x₀）時(shí)f''（x）＜0⇒f′（x）單調(diào)遞減
⇒f′（x）≤f′（0）=0⇒f（x）單調(diào)遞減⇒f（x）＜f（0）=0不滿(mǎn)足條件．
綜上可得，k≤2；
（Ⅲ）由（II）知，當(dāng)k=2時(shí)，e^2x-1-2x-kx²≥0成立，即e^2x≥1+2x+2x²，
取x=n得e²ⁿ＞1+2n+2n²，e²＞1+2+2，e⁴＞1+2×2+2×2²，e⁶＞1+2×3+2×3²，
…e^2（n-1）＞1+2（n-1）+2（n-1）²，
∴$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}=1+{e^2}+{e^4}+…+{e^{2（n-1）}}$＞n+2[1+2+3+…+（n-1）]+2[1²+2²+…+（n-1）²]
=$n+n（n-1）+\frac{n（n-1）（2n-1）}{3}=\frac{{2{n^3}+n}}{3}$．
所以$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}$≥$\frac{{2{n^3}}}{3}+\frac{n}{3}$（n=1時(shí)取等號(hào)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查兩式的大小比較，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和累加法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．