Question

10．A、B、C、D為半徑是2的球的球面上四點(diǎn)，已知|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，則四面體ABCD的體積的最大值為$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，可得DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ

解答 解：根據(jù)題意知，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圓半徑2r=2，即r=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ，
在直角△AQO中，OA²=AQ²+OQ²，即2²=1²+OQ²，∴OQ=$\sqrt{3}$，
∴DQ=2+$\sqrt{3}$，
∴最大值為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•$（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$，
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．