Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+m的圖象與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 g（x）=ln|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），數(shù)形結(jié)合可得 f（1）=$\frac{1}{2}$•1²+m＜0，由此解得m的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+m的圖象（圖中黑色部分）與函數(shù)g（x）=ln|x|的圖象（圖中紅色部分）有四個(gè)交點(diǎn)，
再根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故它們的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)．
又g（x）=ln|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），數(shù)形結(jié)合可得 f（1）=$\frac{1}{2}$•1²+m＜0，解得m＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．