Question

18．已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，（a∈R）
（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）若存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，利用導數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值．
（2）存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，則a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-x² ，可得當a=2時，f′（x）=$\frac{2-2{x}^{2}}{x}$，
故函數(shù)y=f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（1）=-1．  
（2）存在x∈[1，+∞）使得f（x）≥0成立，則a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，g′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
∴1＜x＜$\sqrt{e}$時，g′（x）＜0，x＞$\sqrt{e}$時，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=2e，
∴a≥2e．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．