Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)且滿足f（x+

3

2

）=-f（x）．若x∈（0，3）時(shí)f（x）=log₂（3x+1），則f（2011）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件確定函數(shù)的周期為3，利用函數(shù)周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：由f（x+

3

2

）=-f（x），得f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期為3．
則f（2011）=f（670×3+1）=f（1），
∵x∈（0，3）時(shí)，f（x）=log₂（3x+1），
∴f（2011）=f（1）=log₂（3+1）=log₂4=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．