對(duì)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得
1
f(x)
=
1
a
(
A
x-x1
+
B
x-x2
)（其中A，B為常數(shù)），則稱f（x））=ax2+bx+c（a≠0）為“可分解函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=x2+3x+2是否為“可分解函數(shù)”，若是，求出A，B的值；若不是，說(shuō)明理由；
（2）用反證法證明：f（x）=x2+x+1不是“可分解函數(shù)”；
（3）若f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函數(shù)”，則求a的取值范圍，并寫(xiě)出A，B關(guān)于a的相應(yīng)的表達(dá)式．
分析：（1）由于當(dāng)f（x）=x2+3x+2時(shí)，
1
f(x)
=
1
x2+3x+2
=
-1
x-(-2)
+
1
x-(-1)
，根據(jù)“可分解函數(shù)”的概念，要得結(jié)論，并求出A，B值；
（2）假設(shè)f（x）=x2+x+1是“可分解函數(shù)”，根據(jù)“可分解函數(shù)”的定義及多項(xiàng)式相等的條件，可構(gòu)造方程組，進(jìn)而根據(jù)方程組無(wú)解，可得結(jié)論；
（3）若f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函數(shù)”，根據(jù)“可分解函數(shù)”的定義及多項(xiàng)式相等的條件，可構(gòu)造方程組，求出A，B的表達(dá)式．
解答：解：（1）∵f（x）=x2+3x+2
∴
1
f(x)
=
1
x2+3x+2
=
1
(x+2)(x+1)
=
-1
x-(-2)
+
1
x-(-1)

故函數(shù)f（x）=x2+3x+2為“可分解函數(shù)”，且A=-1，B=1
（2）假設(shè)f（x）=x2+x+1是“可分解函數(shù)”，即存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得
1
f(x)
=
1
a
(
A
x-x1
+
B
x-x2
)=
1
x2+x+1

即
1
a
(
(A+B)x-(Ax2+Bx1)
x2-(x1+x2)x+x1•x2
）=
1
x2+x+1
，
即
A+B=0
Ax2+Bx1=-1
x1+x2=-1
x1•x2=1
，
由于方程組
x1+x2=-1
x1•x2=1
無(wú)解，
所以假設(shè)不真，
故原命題成立．
即f（x）=x2+x+1不是“可分解函數(shù)”；
（3）因?yàn)閒（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函數(shù)”，
所以存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得
1
f(x)
=
1
a
(
A
x-x1
+
B
x-x2
)=
1
a
(
(A+B)x-(Ax2+Bx1)
x2-(x1+x2)x+x1•x2
）=
1
a
•
1
x2+x+
4
a
，
所以x2+x+
4
a
=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以△=1-
16
a
＞0
解得：a＞16或a＜0
此時(shí)方程x2+x+
4
a
=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
且x1=
-1-
1-
16
a
2
，x2=
-1+
1-
16
a
2

代入
A+B=0
Ax2+Bx1=-1
解得
A=-
a
a-16
B=
a
a-16
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義“可分解函數(shù)”為載體考查了因式分解，反證法，及多項(xiàng)式相等的條件等知識(shí)點(diǎn)，是函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，難度較大，正確理解新定義的概念，并由此構(gòu)造相應(yīng)的方程組是解答的關(guān)鍵．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax-bx2．
（1）當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2
b
；
（2）當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2
b
；
（3）當(dāng)0＜b≤1時(shí)，討論：對(duì)任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．記數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn，
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3 ）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點(diǎn)M（x0，y0）處切線的斜率？請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（1）若a=1，求曲線y=f(x)在x=
12
處切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
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（2010•宿州三模）下列說(shuō)法正確的是（　　）

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