Question

【題目】設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）已知，函數(shù)，，求的值域；

（3）若，試問是否存在正整數(shù)，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

試題解析：（1）先利用 為上的奇函數(shù)得 求出以及函數(shù)的表達(dá)式，（2）先由 得，得出函數(shù)的單調(diào)性，再對 進(jìn)行整理，整理為用表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性以及值域，得到的值域．

（3）利用換元法，將不等式轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)問題求解，注意分類討論思想的應(yīng)用．

試題解析：（1）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)， ，得．

（2），即，或（舍去），

令，由（1）知在[1，2]上為增函數(shù)，∴，

，

當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，有最小值，

∴的值域．

（3）=，，

假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，

①當(dāng)時，．

②當(dāng)時，，則，令，則，易證在上是增函數(shù)，∴．

③當(dāng)時，，則，令，則，易證在上是減函數(shù)，∴．

綜上所述，，∵是正整數(shù)，∴=3或4．

∴存在正整數(shù)=3或4，使得對恒成立．