【題目】已知函數(shù).
(1)若是的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,證明:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1);(2)證明見解析
【解析】
(1)求得的定義域,并求導(dǎo),利用分類討論當(dāng)時(shí),分析單調(diào)性顯然成立;當(dāng)時(shí),令,得或,再利用分類討論兩根的大小,分別分析單調(diào)性討論是否成立,得到當(dāng)時(shí)成立,當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí),都不成立,最后綜上得參數(shù)的取值范圍;
(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),得的單調(diào)性,從而表示;將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式對任意的都恒成立,構(gòu)建,利用導(dǎo)數(shù)求得值域,最后由不等式的性質(zhì)即可得證原不等式成立.
(1)的定義域?yàn)?/span>,
①當(dāng)時(shí),,則,
令,得,
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;
此時(shí)是的極小值點(diǎn),符合題意;
②當(dāng)時(shí),令,得或.
(i)當(dāng)時(shí),則,
所以當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
此時(shí)是的極小值點(diǎn),符合題意;
(ii)當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,不是的極值點(diǎn).
(iii)當(dāng)時(shí),則,
所以當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
此時(shí)是的極大值點(diǎn),不符合題意.
綜合①②,得.
(2)證明:由(1)可知當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
又,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以當(dāng)或時(shí),都有.
要證不等式對任意的都恒成立,
即證不等式對任意的都恒成立,
設(shè),則.
設(shè),且在上單調(diào)遞減;
所以方程的唯一解為,
所以當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;
所以當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),對任意都恒成立.
所以當(dāng)時(shí),不等式對任意都恒成立.
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(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與直線交于點(diǎn),若的面積為1,求的值和弦長.
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(1)求乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率;
(2)設(shè)乙、丙二人中擊中目標(biāo)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為拋物線上不同的兩點(diǎn),且,點(diǎn)且于點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù)
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(2)當(dāng)時(shí),令,是否存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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B.存在一個(gè)位置,使△CDM為等邊三角形
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A. B. C. D.
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