Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4．
（1）求曲線C₁與曲線C₂的普通方程；
（2）若A為曲線C₁上任意一點(diǎn)，B為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)B（cosβ，2sinβ），則|BC₁|=$\sqrt{co{s}^{2}β+（2sinβ-1）^{2}}$=$\sqrt{3（sinβ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
利用cos²α+sin²α=1可得：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．圓心C（0，1）．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4，
可得直角標(biāo)準(zhǔn)方程：y²+4x²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)B（cosβ，2sinβ），
則|BC₁|=$\sqrt{co{s}^{2}β+（2sinβ-1）^{2}}$=$\sqrt{3（sinβ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，當(dāng)sin$β=\frac{2}{3}$時(shí)取等號．
∴|AB|的最小值=$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、二次函數(shù)的單調(diào)性、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．