Question

7．設(shè)圓M過點(diǎn)A（0，2），且圓心M在曲線C：x²=4y上，EG是圓M在x軸上截得的弦，試探究當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)．弦長(zhǎng)|EG|是否為定值？為什么？

Answer 1

分析 待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，設(shè)出圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)E，G的坐標(biāo)，再由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再根據(jù)圓心在拋物線上，將圓心坐標(biāo)代入拋物線，兩個(gè)式子聯(lián)立可求出|x₁-x₂|是否為定值．

解答 解：設(shè)圓的圓心為M（a，b），
∵圓M過A（0，2），
∴圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0，
設(shè)圓與x軸的兩交點(diǎn)分別為（x₁，0），（x₂，0），
x₁+x₂=2a，x₁x₂=4b-4，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-16b+16}$，
又∵點(diǎn)M（a，b）在拋物線x²=4y上，
∴a²=4b，
∴$\sqrt{16b-16b+16}$=4，
即|EG|=4，
∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|EG|為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓的定義，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．