Question

19．姜堰某化學(xué)試劑廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求1≤x≤10），每小時可獲得的利潤是$5x+1-\frac{3}{x}$千元．
（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤不低于30千元，求x的取值范圍；
（2）要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出不等式，即可求出x的取值范圍．
（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值，求解函數(shù)的最值即可．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）由題意可知：$2（5x+1-\frac{3}{x}）≥30$，∴5x²-14x-3=（5x+1）（x-3）≥0，∴$x≤-\frac{1}{5}或x≥3$，…（4分）
又因為1≤x≤10，∴3≤x≤10…（6分）
（2）∵$y=\frac{120}{x}（5x+1-\frac{3}{x}）=120（-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}+5），x∈[1，10]$…（10分）
令$t=\frac{1}{x}∈[\frac{1}{10}，1]$，∴y=120（-3t²+t+5）
當(dāng)$t=\frac{1}{6}$即x=6時，∴y_max=610千元．…（15分）
答：該工廠應(yīng)該選取6千克/小時生產(chǎn)速度，利潤最大，且最大利潤為610千元．…（16分）

點評 本題考查函數(shù)的模型的性質(zhì)與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．